Abstrakt
Clebsch-Gordanových koeficientů, ve kterých jsou tři Úhlové momenty, j 1, j 2 a j = J 3, uspořádány, mohou být jednoduše vzájemně spojeny. Nejvíce triviální případ zahrnuje výměnu pořadí kvantových čísel, j 1 m 1 a j 2 m 2. Stavový vektor ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 je přímým součinem dvou vektorů zahrnujících oddělené podprostory celého Hilbertova prostoru, nebo pokud jde o souřadnicovou reprezentaci, vlnová funkce je součinem funkcí zahrnujících různé proměnné. Například, může být funkcí orbitálních proměnných a může být funkcí spin proměnných. Produkt těchto dvou funkcí by tedy neměl záviset na pořadí, ve kterém tyto dvě funkce píšeme. Proto, když rozšiřujeme tuto funkci produktu v terras celkových vlastních funkcí momentu hybnosti, výsledek musí být nezávislý na pořadí, ve kterém píšeme původní funkci produktu,, nebo, s možnou výjimkou přes-all fázového faktoru. Tento fázový faktor přichází, protože naše fázová konvence, která stanoví celkový znak Clebsch-Gordanových koeficientů, dává přednost Úhlové momentě sedící v polohách číslo 1 a číslo 3 Clebsch-Gordanova koeficientu. Takže 〈j 1 j 1 j 2 m 2❘j 3 j 3 must musí být kladné podle naší fázové konvence. Podobně 〈j 2 j 2 j 1 m 1 j j 3 j 3 must musí být také kladné. Naopak Clebschův-Gordanův koeficient 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3 has má znaménko S m 1 = j 3-j 2 proto je jeho znaménko.