„nikdo nás nevyžene z ráje, který pro nás Cantor vytvořil — – David Hilbert
jaký lepší způsob, jak strávit v izolaci, než přemýšlet o nekonečném? Ukažme snad nejjednodušší a nejelegantnější důkaz v matematice: Cantorova věta.
řekl jsem jednoduché a elegantní, není snadné i když!
Část I: Uvedení problému
Cantorova věta odpovídá na otázku, zda prvky množiny mohou být vloženy do individuální korespondence („párování“) s jejími podmnožinami. (Technicky vzato „bijekce“). Tento druh problému souvisí s matematickým konceptem zvaným „kardinalita“. Korespondenci one-to-one můžeme považovat za nějaký druh matematického teoretického datování: chceme, aby každý prvek v sadě našel svůj romantický zápas v jiné sadě, ale chtějí se vyhnout polygamii,a chceme se vyhnout tomu, aby matematické objekty byly svobodné.
například množina {1,2,3} má 3 prvky: 1, 2, 3.
má 8 podmnožin: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
kde {} je znám jako ‚prázdná množina‘. Prozatím to můžete šťastně ignorovat, pokud vám to bude nepříjemné: nebude to důležité. Alternativně můžete zobrazit výše uvedené jako tři koule očíslované 1,2,3 a podmnožiny jako různé způsoby, jak můžete dát koule do malého pytle. Jedna věc, kterou můžete udělat, je dát nic do pytle: prázdnou sadu.
zatím ,takže * snadné*. Koneckonců, u konečných množin se to ukazuje jako zcela zřejmé. Pokud má sada n prvků, pak sada podmnožin má 2 * * n prvků. Ve výše uvedeném souboru {1,2,3} má 3 prvky a sadu podmnožin (je to sousto a matoucí číst,ale podívejte se na příklad, abyste se nezneužívali!) má 8 prvků. 8 = 2*2*2 = 2**3 Jak jsem slíbil.
* * * prohlášení „množina podmnožin“ může být trochu skličující. Chcete-li se cítit trochu pohodlněji, nejprve se ujistěte, že podmnožina je rozumný matematický objekt. Pokud mám nějaké matematické objekty, mohu některé z nich seskupit a ostatní vynechat. Původní sadu můžete zobrazit jako všechny své fotbalisty a sadu podmnožin jako všechny potenciální týmy, které můžete z těchto hráčů vytvořit, jakékoli velikosti. Když se dostaneme k „nekonečnému“ počtu hráčů, věci se mohou trochu ztížit, ale základní myšlenka je stejná.***
ale Cantor se zaměřil na větší. A co sady s nekonečným počtem prvků? Můžeme porovnat velikost dvou sad s nekonečným počtem prvků? (Spoiler: Ano.)
krok II: důkaz
Cantor předpokládá, že jste našli párování, které funguje.
to znamená, že máte funkci, kterou vložíte do prvku sady, a výstup je podmnožina. Nejen to, ale pro každou podmnožinu můžete ukázat na prvek, který je „mapován“ nebo „odeslán“ funkcí do této podmnožiny. Do stejné podmnožiny se také neodesílají žádné dva prvky.
ve výše uvedeném příkladu může někdo Navrhnout funkci, která pošle 1 do množiny {1}, 2 do množiny {2,3} a 3 do množiny {1,2}. Ale nic není odesláno {1,2,3}, takže to zjevně nefunguje.
abychom to zobecnili, Cantor nás žádá, abychom zvážili „množinu prvků, které nejsou obsaženy v podmnožině, na kterou jsou mapovány“. Např. ve výše uvedeném 3 je poslán na {1,2} , ale 3 není v {1,2}, takže se hodí kritérium pěkně.
v naší matematické množině-teoretická datovací funkce, Tato sada, také, potřebuje partnera. Ale kdo může být partnerem této sady? Pokud je prvek odeslán do této sady, pak pokud je obsažen v této sadě, pak to nemůže být. (tj. rozpor). Proč? Protože je pak obsažen v podmnožině prvků, na které byl mapován! A co když to není v této sadě? Pak je to také rozpor, jako by nebyl v množině, podle definice množiny musí být v množině, protože není obsažen v podmnožině, na kterou je mapován.
a tak je Cantorova černá magie hotová. Za předpokladu, že naše magické matematické chodit s někým funkce fungovala, našli jsme příklad, kde to nemohlo fungovat.