uzavřený povrch je povrch, který je kompaktní a bez hranic. Příklady jsou prostory jako koule, torus a Kleinova láhev. Příklady neuzavřených povrchů jsou: otevřený disk, což je koule s propíchnutím; válec, což je koule se dvěma vpichy; a pás Möbius. Jako u každého uzavřeného potrubí, povrch vložený do euklidovského prostoru, který je uzavřen s ohledem na zděděnou euklidovskou topologii, nemusí být nutně uzavřený povrch; například disk vložený do R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
, který obsahuje jeho hranici, je povrch, který je topologicky uzavřený, ale ne uzavřený povrch.
klasifikace uzavřených povrchůeditovat
klasifikační věta uzavřených povrchů uvádí, že jakýkoli připojený uzavřený povrch je homeomorfní pro některého člena jedné z těchto tří rodin:
- koule,
- připojený součet g tori Pro G ≥ 1,
- připojený součet k reálných projektivních rovin pro K ≥ 1.
povrchy v prvních dvou rodinách jsou orientovatelné. Je vhodné kombinovat obě rodiny tím, že se koule považuje za připojený součet 0 tori. Číslo g Tori se nazývá Rod povrchu. Koule a torus mají Eulerovy charakteristiky 2 a 0, a obecně Eulerova charakteristika připojeného součtu g tori je 2-2g.
povrchy ve třetí rodině jsou neorientovatelné. Eulerova charakteristika reálné projektivní roviny je 1 a obecně Eulerova charakteristika připojeného součtu k z nich je 2 − k.
z toho vyplývá, že uzavřený povrch je až do homeomorfismu určen dvěma informacemi: jeho eulerovou charakteristikou a zda je orientovatelný nebo ne. Jinými slovy, Eulerova charakteristika a orientabilita zcela klasifikují uzavřené povrchy až po homeomorfismus.
uzavřené povrchy s více připojenými součástmi jsou klasifikovány podle třídy každé z jejich připojených součástí, a proto se obecně předpokládá, že povrch je připojen.
Monoidní strukturaEditovat
vzhledem k této klasifikaci k připojeným součtům tvoří uzavřené plochy až po homeomorfismus komutativní monoid pod operací připojeného součtu, stejně jako rozdělovače jakékoli pevné dimenze. Identita je koule, zatímco reálná projektivní rovina a torus generují tento monoid, s jediným vztahem P # P # P = P # T, který může být také zapsán P # K = P # T, protože K = P # P. Tento vztah je někdy známý jako Dyckova věta po Waltherovi von Dyckovi, který to dokázal v (Dyck 1888), a trojitý křížový povrch P # P # P se proto nazývá Dyckův povrch.
geometricky, connect-sum s torusem (# T) přidá rukojeť s oběma konci připevněnými ke stejné straně povrchu, zatímco connect-sum s Kleinovou lahví (#K) přidá rukojeť se dvěma konci připojenými k protilehlým stranám orientovatelného povrchu; v přítomnosti projektivní roviny (# P) není povrch orientovatelný (neexistuje žádná představa o straně), takže není rozdíl mezi připojením torusu a připojením Kleinovy láhve, což vysvětluje vztah.
povrchy s hranicíedit
kompaktní plochy, případně s hranicí, jsou jednoduše uzavřené plochy s konečným počtem otvorů(otevřené disky, které byly odstraněny). Takto připojený kompaktní povrch je klasifikován počtem hraničních složek a Rodem odpovídajícího uzavřeného povrchu – ekvivalentně, počtem hraničních složek, orientabilitou a eulerovou charakteristikou. Rod kompaktního povrchu je definován jako rod odpovídajícího uzavřeného povrchu.
tato klasifikace vyplývá téměř okamžitě z klasifikace uzavřených ploch: odstranění otevřeného disku z uzavřeného povrchu poskytuje kompaktní povrch s kruhem pro hraniční složku, a odstranění otevřených disků k poskytuje kompaktní povrch s k disjunktními kruhy pro hraniční komponenty. Přesná umístění otvorů jsou irelevantní, protože homeomorfistická skupina působí k-přechodně na jakékoli připojené potrubí dimenze alespoň 2.
naopak, hranice kompaktního povrchu je uzavřený 1-rozdělovač, a je tedy disjunktním spojením konečného počtu kruhů; vyplnění těchto kruhů disky (formálně, přičemž kužel) poskytuje uzavřený povrch.
unikátní kompaktní orientovatelný povrch rodu g a s hraničními složkami k je často označován Σ g , K , {\displaystyle \Sigma _{g,K},}
například ve studii skupiny mapovacích tříd.
Riemannovy povrchyeditovat
Riemannova plocha je komplexní 1-rozdělovač. Na čistě topologické úrovni je tedy Riemannův povrch také orientovatelným povrchem ve smyslu tohoto článku. Ve skutečnosti je každý kompaktní orientovatelný povrch realizovatelný jako Riemannův povrch. Kompaktní Riemannovy povrchy jsou tedy topologicky charakterizovány svým rodem: 0, 1, 2, …. Na druhé straně Rod necharakterizuje složitou strukturu. Například existuje nespočetně mnoho neizomorfních kompaktních Riemannových ploch rodu 1 (eliptické křivky).
nekompaktní povrchyeditovat
nekompaktní povrchy je obtížnější klasifikovat. Jako jednoduchý příklad lze získat nekompaktní povrch propíchnutím (odstraněním konečné sady bodů z) uzavřeného potrubí. Na druhou stranu, jakákoli otevřená podmnožina kompaktního povrchu je sama o sobě nekompaktním povrchem; zvažte například doplněk Kantorové sady ve sféře, jinak známý jako povrch stromu Cantor. Nicméně, ne každý nekompaktní povrch je podmnožinou kompaktního povrchu; dva kanonické protipříklady jsou Jacobův žebřík a monstrum Loch Ness, což jsou nekompaktní povrchy s nekonečným rodem.
kompaktní povrch M má neprázdný prostor konců E(M), který neformálně řečeno popisuje způsoby, jak se povrch „odchází do nekonečna“. Prostor E (M) je vždy topologicky ekvivalentní uzavřenému podprostoru Kantorové množiny. M může mít konečný nebo počítatelně nekonečný počet NH rukojetí, stejně jako konečný nebo počítatelně nekonečný počet NP projektivních rovin. Pokud jsou Nh i Np konečné, pak tato dvě čísla a topologický typ prostoru konců klasifikují povrch M až do topologické ekvivalence. Pokud je jedno nebo obě Nh a Np nekonečné, pak topologický typ M závisí nejen na těchto dvou číslech,ale také na tom, jak se nekonečné(y) přibližují k prostoru konců. Obecně je topologický typ M určen čtyřmi podprostory E (M), které jsou mezními body nekonečně mnoha rukojetí a nekonečně mnoha projektivních rovin, mezními body pouze rukojetí a mezními body ani.
povrchy, které nejsou ani druhotně počitatelné
pokud z definice povrchu odstraníme předpoklad druhé počitatelnosti, existují (nutně nekompaktní) topologické plochy, které nemají počítatelnou základnu pro svou topologii. Snad nejjednodušším příkladem je kartézský součin dlouhé linie s prostorem reálných čísel.
další povrch, který nemá spočitatelnou základnu pro svou topologii, ale nevyžaduje Axiom volby, aby prokázal svou existenci, je prüferův rozdělovač, který lze popsat jednoduchými rovnicemi, které ukazují, že se jedná o reálný analytický povrch. Prüferův rozdělovač lze považovat za horní polovinu roviny spolu s jedním dalším“ jazykem “ Tx visícím z ní přímo pod bodem (x,0) pro každé skutečné x.
Tibor Radó v roce 1925 dokázal, že všechny Riemannovy povrchy (tj. jednorozměrné komplexní rozdělovače) jsou nutně druhé spočitatelné (Radóova věta). Naproti tomu, pokud člověk nahradí reálná čísla v konstrukci prüferova povrchu komplexními čísly, získá dvourozměrný komplexní rozdělovač (což je nutně 4rozměrné reálné rozdělovač) bez počitatelné základny.
ProofEdit
klasifikace uzavřených ploch je známa již od 60. let 18. století a dnes existuje řada důkazů.
topologické a kombinatorické důkazy obecně spoléhají na obtížný výsledek, že každý kompaktní 2-rozdělovač je homeomorfní na jednoduchý komplex, který je sám o sobě zajímavý. Nejčastějším dokladem klasifikace je (Seifert & Trelfall 1934) harv error: no target: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), který přivádí každý triangulovaný povrch do standardního tvaru. Zjednodušený důkaz, který se vyhýbá standardní formě, objevil John H. Conway kolem roku 1992, který nazval „nulovým irelevantním důkazem“ nebo „zipovým důkazem“ a je prezentován v (Francis & týdny 1999).
geometrický důkaz, který poskytuje silnější geometrický výsledek, je teorém uniformizace. To bylo původně prokázáno pouze pro Riemann povrchy v 1880s a 1900s Felix Klein, Paul Koebe, a Henri Poincaré.