od Úřadu akademických technologií na Vimeo.
příklad-magnetické pole koaxiálního kabelu
nyní vypočítejme magnetická pole koaxiálního kabelu v různých oblastech.
B pole koaxiálního kabelu. Koaxiální kabel se skládá ze dvou soustředných válcových oblastí, vnitřního jádra, vnějšího válcového pláště, něco takového. Tyto vodivé válcové oblasti jsou od sebe odděleny izolačním médiem, a jako jeden z těchto válců nese proud v jednom směru, tomu se říká proud protékající vnitřním jádrem jako i sub a. vnější válcová skořepina nese proud i sub b v opačném směru.
pokud tomuto kabelu dáme nějaké rozměry, řekněme, že tento poloměr je a, vnitřní poloměr vnějšího válcového pláště je b a vnější poloměr druhého válcového pláště je c.
proto proud protéká těmito válci v opačných směrech a rádi bychom určili magnetické pole takového kabelu v různých oblastech. Začněme s oblastí tak, že náš bod zájmu, vzdálenost od středu, je menší než poloměr a. jinými slovy, uvnitř vnitřního válce.
a podívejme se na tento případ z pohledu shora, takže zde máme, řekněme, vnitřní válec z hlediska průřezu a vnější válcový plášť, něco takového, a vnitřní válec nese proud i sub a mimo rovinu a vnější válec nese proud i sub b do roviny, všude v těchto oblastech.
poloměr vnitřního válce je opět A a tento poloměr je B a poloměr vnější oblasti je c. dobře, udělali jsme velmi podobný příklad dříve. Naše první oblast zájmu je, že náš bod bodu a je uvnitř vnitřního válce. Řekněme někde tady, a abychom našli magnetické pole na tomto místě, které je malé r od středu, umístíme empirickou smyčku ve tvaru kruhu, který se shoduje s linií magnetického pole procházející tímto bodem, a nazveme tuto smyčku jako c1 pro první oblast.
a zákon Říše/s říká, že B DL integrovaného přes tuto smyčku, c1, se bude rovnat neu 0 násobku čistého proudu procházejícího oblastí nebo povrchem obklopeným touto smyčkou c1.
jak jsme to udělali v předchozích příkladech, taková smyčka splní podmínky pro uplatnění empírového zákona a magnetické pole bude tečné k přímce pole, a tato přímka pole se shoduje se smyčkou, kterou volíme, a dl je přírůstkový posunový prvek podél této smyčky, proto úhel mezi b a dl bude pro tento případ vždy 0 stupňů.
takže levá strana nám dá velikost b, DL magnituda krát cosin 0, integrovaná přes smyčku c1, se bude rovnat neu 0 krát i uzavřený.
Cosin 0 je 1 a b je konstantní nad touto smyčkou, protože smyčka se shoduje s linií magnetického pole procházející tímto bodem, a pokud jsme na této linii pole, uvidíme stejnou velikost magnetického pole. Proto, protože velikost je konstantní, můžeme ji vzít mimo integrál, proto levá strana, kterou skončíme s B krát integrál DL nad smyčkou c1, se rovná neu 0 krát i uzavřený.
integrál c1, integrál DL, přes smyčku c1 nám dá délku této smyčky, což je obvod této kružnice, a to se bude rovnat 2pi krát poloměr této kružnice, což je malé r krát b bude rovno neu 0 krát I uzavřeno.
i uzavřený je čistý proud procházející oblastí obklopenou touto smyčkou c, takže to je povrch. Smyčka c obklopuje tuto zelenou stínovanou oblast a víme, že skrz celý vnitřní povrch je proud protékající i sub a, což v podstatě pokrývá celou tuto oblast, a abychom získali čistý proud protékající touto zelenou stínovanou oblastí, definujeme proudovou hustotu, která je proud na jednotku plochy průřezu, a pokud tuto proudovou hustotu vynásobíme plochou obklopenou smyčkou c, dostaneme množství proudu procházejícího touto plochou.
pokud tedy půjdeme dál, budeme mít b krát 2pir, toto je levá strana, která se rovná neu0 krát i uzavřený, kde v tomto případě i uzavřený bude roven J krát plocha této oblasti, což je pir na druhou, a zde je hustota proudu celkový proud I děleno celkovou plochou průřezu tohoto drátu, a to je pi krát čtverec.
takže, b krát 2pir bude neu0 krát, kde jsem uzavřeno, budeme mít i lomeno Pia čtvercem, a toto je proudová hustota pro proud protékající vnitřním válcem, a měl bych použít dolní index a tady, protože jsme definovali množství proudu protékajícího vnitřním válcem jako i sub a. i sub a lomeno Pia čtvercem nám dá proudovou hustotu, a pokud vynásobíme tento proud na jednotku plochy plochou oblasti, která nás zajímá, což je pir na druhou, pak skončíme s tímto bodem.celkový proud procházející tímto povrchem.
zde se toto pi a toto pi zruší a můžeme zrušit jeden z těchto čtverců r S r na levé straně, a ponecháme-li b samotné, skončíme s magnetickým polem uvnitř vnitřního válce jako neu0 i sub a děleno 2pia čtvercem krát r.
a samozřejmě je to stejný výsledek jako příklad, který jsme udělali dříve, abychom získali profil magnetického pole proudového válcového drátu.
nyní, jako druhá oblast, uvažujme magnetické pole pro oblast, kterou náš bod zájmu je mezi dvěma válci. Jinými slovy, r je menší než b a větší než region.
pokud se podíváme na tuto oblast, mluvíme o této části a v této části řekněme, že náš bod zájmu je nyní umístěn někde tady. Opět zvolíme uzavřenou smyčku. V tomto případě nazýváme tento jako c2, který se shoduje s linií magnetického pole procházející bodem zájmu p. nyní se nachází v této oblasti.
a pro tuto oblast je to naše vnější válcová oblast skořepiny, která nese proud i sub b do roviny. Nyní, pro tuto oblast, znovu, když zvolíme tuto smyčku, která se shoduje s přímkou pole procházející tímto bodem, splní podmínky pro použití ampérova zákona, a proto bude levá strana ampérova zákona totožná s předchozí částí, a jeho nám dá B poznámka dl integrovaná přes nyní smyčku c2, která se rovná neu0 i přiložené. Levá strana nám opět dá b krát 2 PIR. Samozřejmě, teď, vzdálenost, malé r, je vzdálenost od středu k tomuto bodu pro tuto oblast.
a na pravé straně, pro tento případ, se nyní podíváme na čistý proud procházející oblastí obklopenou smyčkou c2, jinými slovy, oblast obklopená smyčkou c2, a to je tato žlutá stínovaná oblast, a když se podíváme na tento povrch, vidíme, že celý proud protékající vnitřním válcem prochází touto plochou, a samozřejmě je zajímavé cokoli mimo tento povrch, a proto se v tomto případě i uzavřený bude rovnat jednoduše proudu protékajícímu vnitřním válcem, což je i sub a. Proto na pravé straně budeme mít neu0 krát I sub a a řešení pro magnetické pole budeme mít neu0 i sub a lomeno 2pir pro tuto oblast.
takže to je případ, že r je mezi b A a a pro předchozí část jsme vypočítali magnetické pole pro oblast tak, že r je menší než a.
Nyní pojďme vpřed a pojďme vypočítat magnetické pole uvnitř druhého válcového pláště. Takže v tomto případě mluvíme o b v oblasti, kde r je mezi c A b.
jinými slovy, Nyní nás zajímá vnitřní oblast tohoto jiného válcového pláště. Předpokládejme, že v tomto případě je náš bod zájmu někde tady.
nyní opět zvolíme naši empirickou smyčku tak, že se shoduje s linií pole procházející tímto bodem, proto bude opět ve tvaru kruhu a její poloměr, r, se nyní měří od středu a ukazuje to .
nyní nazýváme tuto smyčku jako c3. Výpočty na levé straně budou opět podobné předchozím částem. Tato smyčka splní podmínky pro uplatnění zákona Ampere. Velikost magnetického pole bude konstantní všude podél této smyčky a úhel mezi b a dl bude 0.
takže Ampérův zákon, který je B tečkou dl, integrovaný přes smyčku c3 rovnající se neu0 i uzavřený, nám nakonec dá, pro levou stranu, stejně jako výše, nám dá d krát dpir a na pravé straně budeme mít neu0 krát i uzavřený.
nyní zde mluvíme o čistém proudu procházejícím oblastí obklopenou smyčkou c3. Když se podíváme na tuto oblast, uvidíme, že nejprve mluvíme o této oblasti, této modré stínované oblasti, v této oblasti vidíme, že celý vnitřní válec nebo proud protékající vnitřním válcem bude procházet touto oblastí, a pro druhou válcovou skořepinu vidíme, že pouze tato velká část válce přispěje k magnetickému poli, protože proud protékající oblastí, která je naší stranou tohoto specifického povrchu, je zajímavý.
protože i sub a teče z roviny a i sub b teče do roviny, bude čistý proud v podstatě rozdíl mezi těmito dvěma proudy. Takže můžeme vyjádřit i uzavřeno jako i sub a, zvolme tento směr, směr naší roviny jako kladný, a to se pohybuje mimo rovinu, to je kladné, a druhý je zlomek proudu, který se pohybuje do roviny, a abychom to mohli vyjádřit, musíme nyní vyjádřit proudovou hustotu spojenou s vnějším pláštěm, což je celkový proud protékající tímto pláštěm, a to je i sub b, děleno celkovou plochou průřezu vodiče, mluvíme o vnějším plášti, a celková plocha průřezu tohoto vnějšího válcového pláště je plocha tohoto velkého pláště. válec mínus plocha tohoto malého válce.
jinými slovy, to se bude rovnat pic na druhou minus PIB čtverec a tato část, tento výraz, se bude rovnat proudové hustotě vnějšího válce.
a tato hustota krát oblast zájmu nám dá čistý proud protékající touto oblastí. Jinými slovy, pokud vezmeme součin proudové hustoty s touto modrou stínovanou oblastí, oblast stínované oblasti, řekl bych, pak dostaneme čistý proud protékající touto plochou, což je v podstatě pir na druhou minus pib na druhou.
dobře. Tento výraz můžeme zjednodušit tím, že jej napíšeme, protože i uzavřený je roven i sub a minus i sub b lomeno pí závorkou c na druhou minus b na druhou krát pí krát r na druhou minus b na druhou.
zde se Pi zruší, a proto jsem přiložen bude roven tomuto množství. Pak b krát 2pir se bude rovnat neu0 krát I uzavřeno a to je i pod a minus R čtverec minus B čtverec, i pod B děleno C čtvercem minus B čtvercem.
abychom získali magnetické pole, ponecháme tuto veličinu samotnou na levé straně rovnice, proto se b bude rovnat neu0 lomeno 2pir krát I sub a mínus i sub B krát R čtverec minus B čtverec, děleno čtvercem c minus B čtverec se rovná závorce.
takže uvnitř vnějšího válcového pláště se velikost magnetického pole bude rovnat této veličině. Směr, čistý směr magnetického pole, ať už je to ve směru hodinových ručiček nebo proti směru hodinových ručiček, samozřejmě závisí na velikosti těchto proudů, a to pro oblast, která je r mezi c A b.
Poslední oblastí je vnější oblast tohoto koaxiálního kabelu. Takže se vrátíme k našemu diagramu, pak mluvíme o tom, že náš bod zájmu je umístěn někde tady, a znovu, výběrem empirické smyčky, která prochází bodem zájmu a shoduje se s přímkou pole procházející tímto bodem, bodem p, a to je vzdálenost r od středu.
levá strana Ampérova zákona, nazveme tuto smyčku jako c4, Ampérův zákon pro tento případ bude b nota DL integrovaná přes smyčku c4, která se bude nazývat neu0 krát i uzavřená, a levá strana bude opět podobná předchozím částem, což nám dá b krát 2pir, a to se bude rovnat, pro i uzavřené nyní, podíváme se na náš diagram, mluvíme o čistém proudu procházejícím oblastí obklopenou nyní, celou touto oblastí, a bude to stejné jako v předchozích částech. je obklopen smyčkou C4, o které mluvíme o celé této oblasti, a můžeme snadno vidět, že celá proud procházející koaxiálním kabelem prochází tímto bodem, prochází tímto povrchem, a to znamená, že i sub a vychází z roviny a i sub b jde do roviny.
v důsledku toho bude čistý proud procházející oblastí obklopenou empirickou smyčkou c4 roven i sub a minus i sub b, protože tečou v opačných směrech, proto na pravé straně budeme mít neu0 krát I sub a minus i sub b a řešení pro magnetické pole skončíme konečným vyjádřením neu0 2pir krát I sub a minus i sub B.
a toto je magnetické pole generované mimo tento koaxiální kabel. To je pro oblast, že r je větší než c.
dobře. No, pokud i sub a je rovno i sub b, pokud tyto dva proudy mají stejnou velikost, protože proudí v opačných směrech, pak i uzavřený bude roven 0. To znamená, že magnetické pole mimo koaxiální kabel bude 0 pro r větší než oblast c.