kruhové dráhy

detailní chování reálných oběžných drah je záležitostí nebeské mechaniky (viz článek nebeská mechanika). Tato část se zabývá pouze idealizovanou, jednotnou kruhovou oběžnou dráhou planety, jako je Země, kolem centrálního těla, jako je Slunce. Ve skutečnosti, oběžná dráha Země kolem Slunce není úplně přesně rovnoměrně kruhová, ale je to dost blízko aproximace pro účely této diskuse.

těleso v rovnoměrném kruhovém pohybu prochází vždy centripetálním zrychlením daným rovnicí (40). Podle Newtonova druhého zákona je k vytvoření tohoto zrychlení nutná síla. V případě obíhající planety je síla gravitace. Situace je znázorněna na obrázku 9. Gravitační přitažlivost Slunce je vnitřní (dostředivá) síla působící na Zemi. Tato síla vytváří centripetální zrychlení orbitálního pohybu.

předtím, než jsou tyto myšlenky vyjádřeny kvantitativně, je užitečné pochopit, proč je potřeba síla k udržení těla na oběžné dráze konstantní rychlosti. Důvodem je, že v každém okamžiku je rychlost planety tečná k oběžné dráze. Při absenci gravitace by planeta poslouchala zákon setrvačnosti (Newtonův první zákon) a odletěla v přímce ve směru rychlosti při konstantní rychlosti. Gravitační síla slouží k překonání inerciální tendence planety, čímž ji udržuje na oběžné dráze.

gravitační síla mezi dvěma těly, jako je Slunce a země, je dána

kde MS a ME jsou hmotnosti Slunce a země, R je vzdálenost mezi jejich středy a G je univerzální konstanta rovnající se 6,674 × 10-11 Nm2/kg2(Newton metrů na druhou na kilogram na druhou). Síla působí ve směru spojujícím obě tělesa (tj. podél vektoru poloměru rovnoměrného kruhového pohybu) a znaménko mínus znamená, že síla je atraktivní a působí tak, že táhne zemi směrem ke Slunci.

pozorovateli na povrchu země se zdá, že planeta je v klidu (přibližně) v konstantní vzdálenosti od Slunce. Pozorovateli by se tedy zdálo, že jakákoli síla (jako je gravitace slunce) působící na Zemi musí být vyvážena stejnou a opačnou silou, která udržuje zemi v rovnováze. Jinými slovy, pokud se gravitace snaží vtáhnout zemi do Slunce, musí být přítomna nějaká protichůdná síla, aby se tomu zabránilo. Ve skutečnosti taková síla neexistuje. Země je ve volně zrychleném pohybu způsobeném nevyváženou silou. Zdánlivá síla, známá v mechanice jako pseudoforce, je způsobena skutečností, že pozorovatel je ve skutečnosti ve zrychleném pohybu. V případě orbitálního pohybu se vnější pseudoforce, která vyrovnává gravitaci, nazývá odstředivá síla.

pro rovnoměrnou kruhovou dráhu vytváří gravitace vnitřní zrychlení dané rovnicí (40), a = – v2 / r. pseudoforce F potřebné k vyvážení tohoto zrychlení se rovná hmotnosti Země krát stejné a opačné zrychlení, nebo f = MEv2 / r. pozorovatel navázaný na zemi se pak domnívá, že na planetu nepůsobí žádná čistá síla-tj., že F + f = 0, kde F je gravitační síla daná rovnicí (41). Kombinace těchto rovnic poskytuje vztah mezi rychlostí v planety a její vzdáleností r od Slunce:

je třeba poznamenat, že rychlost nezávisí na hmotnosti planety. K tomu dochází přesně ze stejného důvodu, že všechna těla padají k zemi se stejným zrychlením a že doba kyvadla je nezávislá na jeho hmotnosti. Obíhající planeta je ve skutečnosti volně padající těleso.

rovnice (42) je zvláštní případ (pro kruhové dráhy) Keplerova třetího zákona, který je popsán v článku nebeská mechanika. S využitím skutečnosti, že v = 2nr / T, kde 2nr je obvod oběžné dráhy a T Je čas na vytvoření úplné oběžné dráhy (tj. T je jeden rok v životě planety), je snadné ukázat, že T2 = (4π2/GMS)r3. Tento vztah lze také použít pro satelity na kruhové oběžné dráze kolem Země (v takovém případě musí být ME nahrazeno MS) nebo na oběžné dráze kolem jakéhokoli jiného centrálního tělesa.