introduction_to_plane_geometrie

předpokládané znalosti

studenti budou mít rozsáhlé neformální zkušenosti s geometrií v dřívějších letech, což poskytne dobrý intuitivní základ pro systematičtější přístup ke geometrii vhodný v letech 7-10. Konkrétní témata z let F-6 relevantní pro tento modul jsou:

• použití kompasů a pravítek a pečlivé kreslení geometrických obrazců.
• typy úhlů, včetně alespoň pravých úhlů, ostrých úhlů, tupých úhlů a
  reflexních úhlů.
• trojúhelníky, včetně neformálního úvodu do rovnoramenných a rovnostranných trojúhelníků.
• Čtyřúhelníky, včetně neformálního úvodu do čtverců, obdélníků, rovnoběžníků, lichoběžníků a kosočtverců.
• Neformální zkušenosti s překlady, odrazy, rotacemi a zvětšeními,
  a se symetrií v kontextu činností, jako je skládání rovnoramenného trojúhelníku, obdélníku nebo kosočtverce.

Motivace

geometrie se používá k modelování světa kolem nás. Pohled na střechy domů odhaluje trojúhelníky, lichoběžníky a obdélníky, zatímco obklady v chodnících a koupelnách používají šestiúhelníky, pětiúhelníky, trojúhelníky a čtverce.

stavitelé, obkladači, architekti, grafici a webdesignéři běžně používají geometrické nápady ve své práci. Klasifikace takových geometrických objektů a studium jejich vlastností jsou velmi důležité. Geometrie má také mnoho aplikací v umění.

stejně jako aritmetika má čísla jako základní předměty studia, tak body, čáry a kruhy jsou základními stavebními kameny rovinné geometrie.

v geometrii středních škol začínáme řadou intuitivních myšlenek (body, čáry a úhly), které není vůbec snadné přesně definovat, následované některými definicemi (vertikálně protilehlé úhly, rovnoběžky atd.) a z nich odvozujeme důležitá fakta, která jsou často označována jako věty. Na střední škole by se úroveň přísnosti měla vyvíjet pomalu z jednoho roku na druhý, ale v každé fázi je jasné stanovení velmi důležité a mělo by být zdůrazněno.

geometrie tak dává studentům příležitost rozvíjet svou geometrickou intuici, která má uplatnění v mnoha oblastech života, a také se naučit konstruovat logické argumenty a provádět dedukce v prostředí, které je z větší části nezávislé na počtu
.

obsah

body a čáry

nejjednodušší objekty v rovinné geometrii jsou body a čáry. Protože jsou tak jednoduché, je těžké dát přesné definice z nich, takže místo toho se snažíme dát studentům hrubý popis jejich vlastností, které jsou v souladu s naší intuici. Bod označuje pozici, ale nemá žádnou velikost. V praxi, když nakreslíme bod, má jasně určitou šířku, ale představuje bod v naší představivosti. Čára nemá šířku a nekonečně se rozprostírá v obou směrech. Když nakreslíme čáru, má šířku a má konce, takže to ve skutečnosti není čára, ale představuje čáru v naší představivosti. Vzhledem ke dvěma odlišným bodům A A B pak existuje jedna (a pouze jedna) čára, která prochází oběma body. Používáme velká písmena k označení bodů a řádků názvu buď uvedením dvou bodů na řádku, nebo pomocí malých písmen, jako je a m. níže uvedený řádek je tedy označován jako řádek AB nebo jako řádek .

vzhledem ke dvěma odlišným liniím existují dvě možnosti: mohou se buď setkat v jednom bodě, nebo se nikdy nesetkají, bez ohledu na to, jak daleko jsou rozšířeny(nebo vyrobeny). Linky, které se nikdy nesetkají, se nazývají paralelní. Ve druhém diagramu píšeme AB / / CD.

tři (nebo více) bodů, které leží na přímce, se nazývají kolineární.
tři (nebo více) řádků, které se setkávají v jednom bodě, se nazývají souběžné.

intervaly, paprsky a úhly

Předpokládejme, že A A B jsou dva body na přímce. Interval
AB je část čáry mezi A A B, včetně dvou koncových bodů.

bod a v diagramu rozděluje čáru na dva kusy zvané paprsky. Paprsek AP je paprsek, který obsahuje bod P (a bod A).

Úhly

v diagramu se stínovaná oblast mezi paprsky OA a OB nazývá úhel AOB nebo úhel BOA. Znaménko úhlu je zapsáno, takže píšeme AOB.

stínovaná oblast venku se nazývá reflexní úhel tvořený OA a OB. Většinu času, pokud neurčíme slovo reflex, všechny naše úhly odkazují na oblast mezi paprsky a ne mimo ně.

velikost úhlu

Představte si, že paprsek OB se otáčí kolem bodu O, dokud neleží podél OA. Velikost otáčení se nazývá velikost úhlu AOB. Můžeme podobně definovat velikost reflexního úhlu.

často budeme používat malá řecká písmena, α, β, γ, … reprezentovat velikost úhlu.

velikost úhlu odpovídající jedné úplné revoluci byla rozdělena (Babyloňany) na 360 stejných částí, které nazýváme stupně. (Pravděpodobně si vybrali 360, protože se blížil počtu dní v roce.) Proto je velikost přímého úhlu 180° a velikost pravého úhlu 90°. Další úhly lze měřit (přibližně) pomocí úhloměru.

úhly jsou klasifikovány podle jejich velikosti. Říkáme, že úhel s velikostí α je ostrý
(slovo znamená „ostrý“), pokud 0° < α < 90°, α je tupý (slovo znamená „tupý“), pokud
90° < α < 180° a α je reflexní, pokud 180° < α < 360°.

vzhledem k tomu, že úhloměr má dvě stupnice, musí být studenti opatrní při kreslení a
měření úhlů. Je užitečné použít úhloměr k nakreslení některých úhlů, jako například 30°, 78°, 130°, 163°.

ve výše uvedeném cvičení tvoří dva úhly dohromady přímku, a tak se přidávají na 180°. Dva úhly, které přidávají na 180°, se nazývají doplňkové úhly; 45° a 135° jsou tedy doplňkové úhly.

dva úhly, které se přidávají k 90°, se nazývají komplementární; 23° a 67° jsou tedy
komplementární úhly.

úhly v bodě

o dvou úhlech v bodě se říká, že sousedí, pokud sdílejí společný paprsek. Proto v diagramu sousedí AOB a BOC.

lze přidat sousední úhly, takže v diagramu
α = β + γ.

když se protínají dvě čáry, vytvoří se v průsečíku čtyři úhly.
v diagramu se úhly označené AOX a BOY nazývají vertikálně opačné.

vzhledem k tomu,

• AOX je doplněk BOX (přímý úhel).
• chlapec je také doplněk krabice (přímý úhel),

můžeme konstatovat, že tyto vertikálně opačné úhly,
AOX a BOY jsou stejné. Máme tedy naše první
důležité geometrické prohlášení:

vertikálně protilehlé úhly jsou stejné.

výsledek v geometrii (a v matematice obecně) se často nazývá věta. Věta je důležitým tvrzením, které lze prokázat logickou dedukcí. Výše uvedený argument je důkazem věty; někdy jsou důkazy předloženy formálně po prohlášení věty.

pokud se protínají dvě čáry tak, že všechny čtyři úhly jsou pravoúhlé, pak se říká, že čáry jsou kolmé.

úhly v bodě-geometrické argumenty

v geometrických argumentech lze použít následující důvody:

• sousední úhly lze přidat nebo odečíst.
• úhly při otáčkách se přidávají na 360°.
• úhly v přímce se přidávají na 180°.
• svisle protilehlé úhly jsou stejné.

příčné a rovnoběžné čáry

příčný je čára, která splňuje další dvě čáry.

odpovídající úhly

různé úhly jsou tvořeny příčným. V níže uvedených schématech se dva označené úhly nazývají odpovídající úhly.

nyní se podíváme na to, co se stane, když jsou dvě čáry řezané příčným průřezem rovnoběžné.

Inituitivně, pokud by úhel α byl větší než β, CD by překročilo AB nalevo od F a pokud by bylo menší než β, zkřížilo by se napravo od F. takže protože čáry vůbec nekříží, α nemůže být ani menší, ani větší než β a tak se rovná β.

alternativně si představte překládání úhlu QGD podél GF, dokud se G neshoduje s F. protože čáry jsou rovnoběžné, očekávali bychom, že úhel α se bude shodovat s úhlem β. Toto pozorování nás vede k domněnce, že:

odpovídající úhly vytvořené z rovnoběžných čar jsou stejné.

tento výsledek nemůžeme dokázat, i když jsme ukázali, že je geometricky věrohodný. Přijmeme to jako axiom geometrie. Axiom je tvrzení, které nemůžeme dokázat, ale které je intuitivně rozumné. Všimněte si, že mnoho skutečností, které jsme již uvedli, například: mohou být přidány sousední úhly, a dva body určují čáru atd., jsou také axiomy, i když jsme je tímto způsobem výslovně neuvedli.

alternativní úhly

v každém diagramu se dva označené úhly nazývají alternativní úhly (protože jsou na střídavých stranách příčné).

pokud jsou čáry AB a CD rovnoběžné, pak jsou alternativní úhly stejné. Tento výsledek lze nyní prokázat.

DGQ = α (odpovídající úhly, AB / / CD)

DGQ = β (svisle protilehlé úhly v G)

takže α = β.

abych to shrnul:

střídavé úhly vytvořené z rovnoběžek jsou stejné.

Co – vnitřní úhly

konečně, v každém diagramu níže, dva označené úhly se nazývají co – vnitřní úhly a leží na stejné straně příčné.

pokud jsou čáry AB a CD rovnoběžné, pak je zřejmé, že společné vnitřní úhly nejsou stejné, ale ukazuje se, že jsou doplňkové, to znamená, že jejich součet je 180° .

toto je výsledek, který lze také snadno prokázat:

BFG = β (alternativní úhly, AB ||CD)

α + β = 180° (přímý úhel na F)

abych to shrnul:

společné vnitřní úhly vytvořené z rovnoběžek jsou doplňkové.

tři výsledky lze shrnout
následujícím schématem:

numerické příklady

vzhledem k informacím o úhlech v diagramu můžeme výše uvedené výsledky použít k nalezení velikosti dalších úhlů v diagramu. Jedná se o jednoduchou, ale velmi důležitou dovednost, často označovanou neformálně jako pronásledování úhlu. Při řešení problémů není sled kroků vždy jedinečný. Může existovat několik různých, ale stejně platných přístupů.

například v následujícím diagramu hledáme velikost úhlu BAC.

DCA = 102° (střídavé úhly, AC / BD)

BAC = 78° (společné vnitřní úhly, AB / / CD)

Converse příkazy

mnoho výroků v matematice má converse, ve kterém implikace jde opačným směrem. Například příkaz

‚každé sudé číslo končí 0, 2, 4, 6 nebo 8.‘

má converse

‚každé číslo, které končí 0, 2, 4, 6 nebo 8, je sudé.‘

toto konkrétní tvrzení a jeho konverzace jsou pravdivé, ale v žádném případě to není vždy
případ.

například následující dva příkazy jsou vzájemné konverzace:

‚ každý násobek 4 je sudé číslo.‘

‚ každé sudé číslo je násobkem 4.‘

a zde je první tvrzení pravdivé, ale druhé je nepravdivé.

Converse věty pro rovnoběžky

viděli jsme, že odpovídající úhly vytvořené z rovnoběžek jsou stejné. Prohlášení converse můžeme zapsat následovně.

prohlášení: pokud jsou čáry rovnoběžné, pak jsou odpovídající úhly stejné.

Converse: Pokud jsou odpovídající úhly stejné, jsou čáry rovnoběžné.

příkaz converse je také pravdivý a často se používá k prokázání, že dva řádky jsou rovnoběžné. Totéž platí pro alternativní a společné vnitřní úhly.

prohlášení: pokud jsou čáry rovnoběžné, pak jsou alternativní úhly stejné.

Converse: pokud jsou alternativní úhly stejné, pak jsou čáry rovnoběžné.

prohlášení: pokud jsou přímky rovnoběžné, pak jsou společné vnitřní úhly doplňkové.

Converse: Pokud jsou společné vnitřní úhly doplňkové, pak jsou čáry rovnoběžné.

v každém diagramu jsou tedy čáry AB a CD rovnoběžné.

důkazy tří konverzí

předpokládáme, že odpovídající úhly tvořené příčným průřezem jsou stejné a ukazujeme, že čáry jsou rovnoběžné.

v diagramu předpokládáme, že
ABC = BEF.

pokud BC a EF nejsou rovnoběžné, nakreslete
BD rovnoběžně s EF.

nyní, protože BD a EF jsou rovnoběžné ABD = BEF a tak ABC = ABD, což je zjevně nemožné, pokud řádky BC a BD nejsou stejné. Proto jsou linie BC a EF rovnoběžné.

ostatní důkazy následují stejným způsobem.

úhlový součet trojúhelníku

výsledky z předchozí části lze použít k odvození jedné z nejdůležitějších skutečností v geometrii-úhlový součet trojúhelníku je 180° .

začínáme trojúhelníkem ABC s úhly α, β, γ, jak je znázorněno. Nakreslete čáru DAE rovnoběžně s BC. Pak,

DAB = β (alternativní úhly, BC / / DE)

EAC = γ (alternativní úhly, BC||DE)

α+ β + γ = 180° (přímý úhel).

tak jsme prokázali větu

součet úhlů v trojúhelníku je 180°.

čtyřúhelník je rovinná postava ohraničená čtyřmi stranami.

odkazy vpřed

materiál v tomto modulu začal umisťovat geometrii na přiměřeně systematický základ pečlivě definovaných objektů, axiomů, které je třeba předpokládat, a vět, které jsme prokázali. Na tomto základě můžeme vytvořit systematický popis rovinné geometrie zahrnující:

• Pythagorova věta
• kongruence a shodné trojúhelníky
• podobnost a podobné trojúhelníky
• rovnoramenné a rovnostranné trojúhelníky
• speciální čtyřúhelníky, včetně čtverců, obdélníků, rovnoběžníků, kosočtverců a lichoběžníků
• geometrie kruhů.

geometrie roviny bude také zásadní v mnoha dalších oblastech matematiky let 7-10:

• transformace
• trojrozměrná geometrie
• plochy a objemy
• trigonometrie
• souřadnicová geometrie
• grafy kruhů a parabol.

myšlenky tečen a oblastí vedou zase k počtu v letech 11-12.

historie a aplikace

historie

neuvěřitelné stavby pyramid a obrovských chrámů Egypta ukazují, že Egypťané museli mít velmi dobré pracovní znalosti a porozumění základní geometrii, alespoň na praktické úrovni. Na druhé straně neexistují žádné důkazy o tom, že by tyto znalosti systematizovali jakýmkoli formálním způsobem. To bylo ponecháno starým Řekům. Nemáme podrobné znalosti o této systematizaci, s výjimkou tvrzení, že Thales (ca. 624 př. n. l. 546 ) dal první „důkazy“ geometrických skutečností, které označovaly počátky deduktivní geometrie. Pythagorova Škola pokračovala v této práci a Platón (428 -348 ) jasně čerpá z práce dřívějších matematiků, když ve svých spisech zmiňuje geometrická fakta. Geometrický dialog v jeho díle Meno, ve kterém Sokrates přiměje otroka, aby dospěl k geometrické větě řadou logických dedukcí, stojí za přečtení. Pokud je původ geometrie nejasný, „konečný produkt“ není. Euclid (323-283 ), psaní v Alexandrii, vytvořil pozoruhodnou práci nazvanou prvky, která zůstala standardní učebnicí v geometrii více než 2000 let. V této práci Euclid stanoví řadu definic (například pro body a čáry), postuláty a běžné pojmy. (Dnes jim říkáme axiomy.) Z nich logicky vyvinul ve velmi pečlivě zvoleném pořadí velké množství vět, které obecně označujeme jako euklidovskou geometrii. Existuje řada dalších geometrických výsledků, jako je Pappusova věta, které byly objeveny po Euclidovi, ale tyto nejsou obecně pokryty na střední škole.

jeden z euclidových pěti postulátů nebyl tak zjevně pravdivý, jak se zdálo, že ostatní jsou. Jedna jeho verze, známý jako Playfairův Axiom uvádí, že: Vzhledem k přímce a bodu P, nikoli na , existuje jedna a pouze jedna přímka rovnoběžná s procházející P. v 19. století se řada matematiků ptala na otázku “ co se stane, když tento postulát popřeme?“To se provádí za předpokladu, že buď neexistuje žádná taková rovnoběžka, nebo tím, že existuje více než jedna taková přímka. To vedlo k vývoji neeuklidovských geometrií, z nichž jedna se ukázala jako jeden z dobrých modelů pro vesmír.

aplikace

ve velmi reálném smyslu tvoří geometrie a geometrická intuice základy všech
matematiky − geometrie vede ke souřadnicové geometrii, která vede k počtu a
všem jeho mnoha aplikacím-a proto je v učebních osnovách zásadní.

na praktičtější úrovni jsou stavitelé, geodeti, inženýři a architekti po staletí těžkými uživateli geometrie a geometrických myšlenek. V poslední době se s vývojem počítačů připojili grafici a weboví designéři k této skupině lidí, kteří ve své práci potřebují a používají geometrii. Nedávno na otázku, jak užitečná je geometrie, Jim Kelly, řekl aplikovaný vědec: … geometrie je důležitou součástí návrhu, kreslení a počítačového modelování. Používá se také často … kurzy fyziky a dalších fyzikálních věd jako součást pochopení účinků zatížení na struktury a vyvažovacích bodů (těžišť) kompozitních těles. V chemii je pochopení geometrie molekuly spojeno s pochopením vlastností látek. Existuje mnoho dalších příkladů. (z webu Ask a Scientist.)

Dějiny matematiky: Úvod, 3. vydání, Victor J. Katz, Addison-Wesley, (2008)

historie matematiky, D. E. Smith, Dover publikace New York, (1958)

odpovědi na cvičení

cvičení 1

cvičení 2

body jsou kolineární

cvičení 3

60°

cvičení 4

DBA = 102° (odpovídající úhly, AB / / CD)

BAC = 78° (společné vnitřní úhly, AC||BD)

cvičení 5

α = 65° (odpovídající úhly, AC||BM)

β = 80° (alternativní úhly, AC||BM)

γ + β = 115° (společné vnitřní úhly, AC||BM)

= 35°

(Toto je struktura pro důkaz výsledku, že úhlový součet trojúhelníku je 180°)

cvičení 6

α = 60°

cvičení 7

a čtyřúhelník s každým z jeho vnitřních úhlů pravý úhel je obdélník.
Converse: každý vnitřní úhel obdélníku je pravý úhel.

b obdélník je čtverec
Converse: čtverec je obdélník

c úhlový součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 200°
Converse: mnohoúhelník, pro který je součet vnitřního úhlu 200°, je trojúhelník.

cvičení 8

α = 50°

cvičení 9

odkazujeme na stejný diagram.

umístěte bod H na přímku EF nalevo od E.

CBE = BEH

pokud BC a EF nejsou rovnoběžné, nakreslete BD rovnoběžně s EF.

protože BD a EF jsou rovnoběžné, EBD= BEH, což je zjevně nemožné, pokud řádky BC a BD nejsou stejné.

proto jsou linie BC a EF rovnoběžné.

cvičení 10

360°

Projekt zlepšování matematického vzdělávání ve školách (TIMES) 2009-2011 byl financován australským vládním Ministerstvem školství, zaměstnanosti a vztahů na pracovišti.

zde vyjádřené názory jsou názory autora a nemusí nutně představovat názory australského vládního Ministerstva školství, zaměstnanosti a vztahů na pracovišti.

© University of Melbourne jménem Mezinárodního centra excelence pro vzdělávání v matematice (ICE-EM), vzdělávací divize australského Institutu matematických věd (AMSI), 2010 (není-li uvedeno jinak). Tato práce je licencována pod licencí Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/