pokud #s# je množina objektů s binární operací # @ # (např. sčítání nebo násobení), pak se říká, že je uzavřena pod # @ # if and only if # a@b in S #pro všechny#a, b in s#.
to znamená, že vzhledem k libovolným dvěma prvkům #a# A # b # z # S#, výraz #a@b # vám dává další prvek #S#.
takže například množina sudých celých čísel #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… } # je uzavřen pod sčítáním i násobením, protože pokud přidáte nebo vynásobíte dvě sudá celá čísla, dostanete sudé celé číslo.
naproti tomu množina lichých celých čísel je při násobení uzavřena, ale při sčítání neuzavřena.
to bude mnohem zajímavější, jakmile budeme také vyžadovat uzavření pod identitou a inverzní.
například racionální čísla # QQ # mají vlastnosti:
-
uzavřeno pod přidáním #+# a násobením #*#
-
obsahují identitu #0 # pro přidání a #1# pro násobení.
-
obsahují aditivní inverze pro jakýkoli prvek.
-
obsahují multiplikativní inverze pro jakýkoli nenulový prvek.
-
různé další vlastnosti, které se scvrkávají na sčítání a násobení pracující jako normální (komutativita ,asociativita, distributivita atd.).
o racionálních číslech se říká, že tvoří pole.
co se stane, když do množiny racionálních čísel přidáme #sqrt(2)#?
přestane být uzavřen při sčítání nebo násobení. Příklad:
-
pokud přidáte nějaké racionální číslo do # sqrt (2)#, dostanete další iracionální číslo.
-
pokud vynásobíte jakékoli iracionální číslo (kromě #0 # nebo #1#) #sqrt (2)#, dostanete další iracionální číslo.
aby bylo možné jej znovu uzavřít, musíme zahrnout všechna čísla formuláře:
#a + bsqrt(2)#
kde #a, b v QQ#
pak najdeme:
#(a + bsqrt (2)) + (c+dsqrt (2)) = (a + c)+(b+d) sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2)) * (c+dsqrt (2)) = (ac+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2))+((- a)+(- b)sqrt(2)) = 0#
#(a + bsqrt (2)) * ((a / (a^2-2b^2)) – (b / (a^2-2b^2)) sqrt(2)) = 1#
choulostivý je ten poslední, který nám v podstatě říká, že čísla formuláře #a + bsqrt (2)# jsou uzavřena pod multiplikativní inverzní. Dalo by se říci, že nenulová čísla formuláře #a + bsqrt (2)# jsou uzavřena pod divizí.