co je symbol Christoffel?

zde je nejlepší způsob, jak přemýšlet o symbolech Christoffel, alespoň pro začátečníky.

Předpokládejme, že chcete vědět, zda/jak se vektor mění z jednoho bodu do druhého ve vašem základním rozdělovači, tj. Jinými slovy, chcete rozlišit své vektorové pole. Existují dva důvody, proč můžete ve svých výpočtech zaregistrovat změnu vektorového pole:

1. samotný vektor může být v jednom bodě jiný než v druhém nebo
2. vektor může být popsán pomocí různých bázových vektorů v obou bodech. (Když změníte základ, změní se složky věcí, které popisujete.)

jakákoli změna, kterou zjistíte v hodnotě vektoru z jednoho bodu do druhého, může být z jednoho nebo obou těchto zdrojů.

důležité je, že při posuzování, zda se vektor (pole) změnil při přechodu z jednoho bodu do druhého v časoprostoru, potřebujete něco ve své matematice, abyste zohlednili skutečnost, že se váš základ (tj.

běžná parciální derivace to nedělá. Jen předpokládá, že se základ nezmění. V nejobecnějším případě se však základní vektory změní. Abychom to vysvětlili, nahradíme obyčejný parciální derivát tím, co se nazývá kovariantní derivát. Součástí kovariantní derivace, která sleduje změny vyplývající ze změny báze, jsou Christoffelovy symboly. Kódují, jak moc se mění bázové vektory, když se pohybujeme ve směru samotných bázových vektorů.

jak je to užitečné v obecné relativitě? Je to proto, že gr modeluje gravitaci jako zakřivení časoprostorového potrubí a informace o tomto zakřivení jsou zakódovány v christoffelových symbolech.

ale pokud jsou Christoffelovy symboly závislé na bázi (a právě jsme řekli, že jsou-různé souřadnicové systémy/bázové vektory vám poskytnou různé hodnoty pro Christoffelovy symboly), jak mohou poskytnout informace o zakřivení podkladového potrubí, které by mělo být nezávislé na souřadnicovém systému?

Christoffelovy symboly nedávají zakřivení přímo. Z toho, co jsme dosud řekli, je jasné, že aby Christoffelovy symboly byly identicky nulové, nesmí se bázové vektory měnit při přechodu z bodu do bodu. To znamená, že nebudeme zavádět žádné falešné změny do našich vektorových polí tím, že nebudeme zohledňovat změnu báze.

dvě věci důležité rozpoznat:

1. nenulové Christoffelovy symboly neznamenají, že potrubí má zakřivení. Vše, co to znamená, je, že používáte báze vektorové pole, které mění délku a / nebo směr z bodu do bodu. Běžným příkladem jsou polární souřadnice v rovině. Tyto bázové vektory se mění z bodu na bod, např. bázový vektor ve směru theta se prodlužuje, čím dále se dostanete od počátku v radiálním směru. To znamená, že budete mít alespoň některé nenulové Christoffel symboly. Ale prostor zjevně není zakřivený.

   1. Mizející Christoffelovy symboly neznamenají, že prostor nemá žádné zakřivení. Může to znamenat, že cestujete po trajektorii známé jako geodet. (To je zobecnění přímek přes obyčejný plochý prostor je ‚ nejkratší vzdálenost mezi dvěma body.“) Fyzickým protějškem je volný pád.

od Christoffelových symbolů definujme kovariantní derivaci (tj. derivace, která bere v úvahu, jak se mění základní vektory), umožňuje nám definovat „paralelní transport“ vektoru. Tedy Christoffelův symbol nám říká, co to znamená říci, že vektor je posunut z jednoho bodu do druhého tak, aby zůstal „rovnoběžný se sebou samým“. „Rovnoběžka sama se sebou „znamená“ kovariantní derivace mizí“.

definice zakřivení (alespoň jedna z nich) závisí na tomto paralelním transportním procesu, který je umožněn kovariantním derivátem, který je zase umožněn Christoffelovými symboly.

základní myšlenka je, že pokud paralelně transportujeme vektor přes smyčku (tj. vracíme se k našemu výchozímu bodu), nemusíme nutně skončit se stejným vektorem, se kterým jsme začali. To je pravda, i když jsme transportovali vektor „paralelně“. Rozhodujícím faktem pro zakřivení není jen to, že skončíme s jiným vektorem, než jsme začali (to se může stát v případě nulového zakřivení), ale to, s jakým vektorem skončíme, závisí na cestě, kterou jsme vzali. Takže pokud přenesete vektor „rovnoběžný s sebou“ po cestách a A b, skončíte se dvěma různými vektory „rovnoběžnými“ s vektory, se kterými jste začali. Pokud k tomu dojde, pak je váš prostor podle definice zakřivený.

stručně řečeno, rozdíl mezi plochým prostorem a zakřiveným prostorem lze říci takto: v plochém prostoru je možné vytvořit souřadnicový systém, kde Christoffelovy symboly zmizí všude, tj. kde jsou základní vektory v každém bodě stejné. V zakřiveném prostoru to není možné. Nemůžete nechat všechny Christoffelovy symboly zmizet v zakřiveném prostoru, jednoduše proto, že pokud byste mohli, prostě by to nebylo zakřivené. Bylo by to ploché!

co to všechno má společného s fyzikou? Studna, můžete si představit gravitaci jako vyplývající z zakřivení prostoročasu, pomocí analogií gumových plechů atd. Ale považuji za užitečnější uvažovat o gravitaci jako o pouhém vyplývající z této potřeby korigovat, jak nás základní časoprostor nutí používat různé bázové vektory v různých bodech. V teorii relativity je fyzickým protějškem „změny báze“ změna stavu pohybu. Stejně jako termíny vyplývající výhradně ze změn báze neodrážejí skutečná fakta o vektorech – pouze artefakty toho, jak se rozhodneme popsat vektory-termíny vyplývající ze změn ve stavu pohybu neodrážejí skutečná fyzická fakta.

toto je srdce Einsteinova rozšíření Galileovy revoluční myšlenky relativity – že fyzikální zákony jsou takové, jaké jsou, bez ohledu na váš stav pohybu. Cokoli, co závisí na vašem stavu pohybu, není fakt, ale artefakt a mělo by být jako takové odmítnuto. To vedlo Einsteina (a další) k myšlence, že skutečné zákony vesmíru by měly být ty, které platí bez ohledu na souřadnicový systém / stav pohybu. Christoffelovy symboly lze považovat za pojmy v rovnicích, které je činí tak, aby platily pro všechny stavy pohybu.

takže v jistém smyslu můžeme říci, že existence gravitace jak vyplývá, tak naznačuje, že fyzikální zákony jsou stejné bez ohledu na to, jak se pohybujete, v tom smyslu, že kdyby gravitace nefungovala tak, jak funguje, pak by různí pozorovatelé formulovali různé zákony v závislosti na jejich farních perspektivách (a naopak).